OpenAI: la FFT más rápida es un algoritmo galáctico

El titular de OpenAI sobre la FFT no resiste el primer cálculo

El algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) que OpenAI presentó como más veloz que el clásico solo gana en tamaños de problema imposibles: la constante oculta de su tiempo de ejecución se estima en 10^100, y aun con un problema de tamaño n = 10^100, el FFT tradicional de Cooley-Tukey sería 10^99 veces más rápido. Así lo documenta el matemático Ben Recht en su blog argmin, tras revisar el paper —bautizado sin demasiada imaginación como "main.pdf"— que la compañía incluyó en el volcado de manuscritos matemáticos que subió a GitHub.

La conclusión de Recht es incómoda para el relato de "avance matemático": no hay una FFT más rápida, hay un artefacto de notación. Y para cualquier founder que esté evaluando construir producto sobre papers generados por IA, el caso es una clase práctica sobre cómo leer un resultado técnico sin que te vendan el titular.

¿Qué es la FFT y por qué el tamaño del problema lo cambia todo?

La FFT es una de las innovaciones más importantes del procesamiento digital de señales. Extrae el contenido de frecuencia de una señal y permite analizarla, filtrarla y manipularla por bandas del espectro. Es la maquinaria que hay detrás de audio, imagen, telecomunicaciones y radar.

El procedimiento recursivo lo formularon James Cooley y John Tukey en 1965 (aunque, como apunta Recht, la página de Wikipedia atribuye el hallazgo original a Gauss en 1805). Su gracia es que calcula una transformada de longitud n en menos de 5 n log2 n operaciones, frente a las n² del método directo.

Los números concretos que da Recht para dimensionar la mejora:

• Con n = 1.000, el método directo necesita 1.000.000 de operaciones y la FFT unas 50.000: una mejora de 20 veces.
• Con n = 1.000.000, la mejora llega a 10.000 veces.

Esa diferencia es, literalmente, la frontera entre que una transformada sea computable o no en una aplicación real. Por eso la pregunta "¿se puede ir más rápido?" lleva décadas abierta: el límite razonable parece ser n operaciones, y la FFT está un factor 5 log2(n) por encima de ese límite.

¿Qué es un algoritmo "galáctico" y por qué el titular engaña?

Acá entra la notación big-O, que según Recht está tan abusada que perdió sentido. Decir que un algoritmo es O(n) no significa que necesite 50n operaciones: puede significar que necesite 10^80 n. Y 10^80 es, aproximadamente, el número de átomos del universo conocido.

Los investigadores Richard Lipton y Ken Regan bautizaron a estos casos como "algoritmos galácticos": funcionan en teoría, pero solo si el problema es del tamaño de una galaxia.

El paper de OpenAI cae de lleno en esa categoría. Recht cita estimaciones de C = 10^100 cuando N = 10^12. En términos de big-O el resultado es técnicamente mejor que Cooley-Tukey, pero en términos de ingeniería la mejora aparece solo en escalas que ningún sistema real va a procesar.

El problema de fondo: el modelo de cómputo no existe

El argumento más duro de Recht no es sobre la constante, sino sobre la máquina que el paper asume. El modelo usa "aritmética compleja exacta": supone que puedes almacenar y multiplicar números complejos con precisión arbitraria, en una sola operación.

El algoritmo requiere multiplicar complejos cuyas magnitudes crecen de forma superpolinomial con n. Si esos números se guardaran como bits, el requisito de memoria sería efectivamente exponencial respecto del tamaño de la entrada. No existen computadoras que hagan eso.

Y no es una sorpresa para quien conoce la teoría de la FFT. En 1973, Jacques Morgenstern demostró que no se podía obtener una transformada de Fourier más rápida que ½ n log n si los coeficientes complejos usados en el cálculo tenían magnitud acotada. Cuarenta años después, Nir Ailon mostró que no se puede computar una FFT más rápida que n log n sin inestabilidades numéricas severas.

Dicho de otro modo: el resultado de OpenAI no rompe un límite físico, esquiva un supuesto del modelo. Recht lo resume como un caso de informáticos que no logran formalizar bien sus propias especificaciones de diseño.

El resto del repositorio: 722 demostraciones y la pelea por Navier-Stokes

El paper de la FFT no viaja solo. Según WWWhat's new, OpenAI subió a GitHub el mayor repositorio de demostraciones matemáticas generadas por IA publicado hasta ahora: 722 manuscritos agrupados en 372 familias de teoremas, todos verificados formalmente con Lean, el asistente de pruebas que usa la comunidad matemática. El repositorio está disponible en github.com/openai/math desde el 7 de octubre de 2026.

El detalle que más debería interesar a un founder es el costo de generación: cada resultado consumió aproximadamente tres horas de ChatGPT Pro en modo de razonamiento extendido, lo que suma más de 2.100 horas de cómputo para el corpus completo.

El mismo sistema que produjo ese corpus es el que, según El Mundo, en julio de 2026 resolvió uno de los problemas abiertos de las ecuaciones de Navier-Stokes. La compañía dijo que necesitó 88 horas y millones de dólares en potencia de cómputo, y Mark Chen, director de investigación de OpenAI, lo presentó como un hito para la investigación en IA. Levante-EMV añade que en la fase final trabajaron alrededor de 10.000 agentes de IA en simultáneo, sobre un modelo interno más potente que GPT-6 Astra, y que el trabajo arrancó el 1 de septiembre.

El anuncio también abrió una disputa: los matemáticos Tristan Buckmaster y Levent Alpoge, este último en Anthropic, publicaron trabajos asistidos por IA sobre ecuaciones relacionadas y cuestionaron el mérito. OpenAI negó haber usado su material, aunque reconoció que no puede descartar del todo que datos de uso de sus productos hayan contribuido a mejorar sus modelos.

¿Qué significa esto para tu startup?

Si estás evaluando papers, benchmarks o capacidades de modelos para decidir tu stack técnico, este episodio deja tres lecciones operativas.

1. Busca la constante, no el O(). Cuando un proveedor o un paper diga "complejidad lineal" o "asintóticamente más rápido", pide el número concreto de operaciones para el tamaño de problema que tú vas a usar. Si la respuesta es un símbolo y no una cifra, no tienes un dato: tienes marketing técnico. En el caso de la FFT de OpenAI, la constante estimada es 10^100, y eso cambia por completo la decisión.

2. Exige el modelo de cómputo, no solo el resultado. Un algoritmo que asume aritmética de precisión arbitraria en una sola operación no corre en tu infraestructura. Antes de adoptar cualquier técnica nueva, pregunta en qué hardware se probó, con qué precisión numérica y con qué consumo de memoria. Si el paper no lo dice, la carga de la prueba no es tuya.

3. Separa "verificado" de "útil". La verificación formal con Lean confirma que la lógica es consistente, no que el resultado sea relevante o implementable. Es una distinción que también aplica a los benchmarks de tus propios proveedores de IA: un test superado no equivale a un problema resuelto.

Y una cuarta, más de gestión: si tu equipo usa agentes para generar investigación, documentación o análisis, define quién revisa y con qué criterio. El caso muestra que la capacidad de producir resultados a escala creció mucho más rápido que los marcos para evaluarlos.

Conclusión

El episodio de la FFT es un recordatorio útil en medio de la fiebre por los resultados de IA en matemáticas. El repositorio de OpenAI es real, la verificación con Lean es real y el volumen de trabajo producido es notable. Pero un resultado asintóticamente mejor que solo funciona con números de 10^100 dígitos no es un avance de ingeniería: es un ejercicio teórico con un titular mal calibrado.

Para un founder, la habilidad que se vuelve más valiosa no es la de adoptar rápido, sino la de preguntar bien. Constante, hardware, precisión, costo y quién revisa. Las cinco preguntas que separan un avance real de un artefacto de notación.

Fuentes

• Faster Fourier Transforms - arg min (fuente original)
• OpenAI publica 722 demostraciones matemáticas generadas por IA
• OpenAI afirma que su IA resolvió uno de los problemas más complejos de las matemáticas - El Mundo
• 10.000 agentes de IA resuelven en 88 horas uno de los problemas matemáticos más difíciles - Levante-EMV